Question

函數y=2x³+1的圖象與函數y=3x²-b的圖象有三個不相同的交點，則實數b的取值范圍是

1. A.
   （-2，-1）
2. B.
   （-1，0）
3. C.
   （0，1）
4. D.
   （1，2）

Answer 1

B
分析：設y=f（x）=2x³+1，y=g（x）=3x²-b，根據題意得方程f（x）=g（x）有三個不相等的實數根，進而轉化為b=-2x³+3x²-1，對右邊對應的函數單調性的討論，記
F（x）=-2x³+3x²-1然后利用導數工具研究其單調性，得到它的極大值與極小值，最后根據這個極值建立關于字母b的不等式組，解之可得實數b的取值范圍．
解答：設y=f（x）=2x³+1，y=g（x）=3x²-b
∵y=2x³+1的圖象與y=3x²-b的圖象有三個不相同的交點，
∴方程f（x）=g（x）有三個不相等的實數根
即：2x³+1=3x²-b?b=-2x³+3x²-1
記F（x）=-2x³+3x²-1，得F′（x）=-6x（x-1），列出下表：

所以方程f（x）=g（x）有三個不相等的實數根的充要條件是
函數F（x）的極大值大于b，而極小值小于b
∴?b∈（-1，0）
故選B
點評：本題以多項式函數為載體，考查了方程根的個數知識點，屬于中檔題．從函數圖象聯(lián)系到方程的根，利用參數分離研究函數單調性的方法解決，是本題解決的特征．