函數(shù)y=2x3+1的圖象與函數(shù)y=3x2-b的圖象有三個不相同的交點,則實數(shù)b的取值范圍是( )
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
【答案】分析:設(shè)y=f(x)=2x3+1,y=g(x)=3x2-b,根據(jù)題意得方程f(x)=g(x)有三個不相等的實數(shù)根,進而轉(zhuǎn)化為b=-2x3+3x2-1,對右邊對應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性的討論,記
F(x)=-2x3+3x2-1然后利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性,得到它的極大值與極小值,最后根據(jù)這個極值建立關(guān)于字母b的不等式組,解之可得實數(shù)b的取值范圍.
解答:解:設(shè)y=f(x)=2x3+1,y=g(x)=3x2-b
∵y=2x3+1的圖象與y=3x2-b的圖象有三個不相同的交點,
∴方程f(x)=g(x)有三個不相等的實數(shù)根
即:2x3+1=3x2-b⇒b=-2x3+3x2-1
記F(x)=-2x3+3x2-1,得F′(x)=-6x(x-1),列出下表:
 
所以方程f(x)=g(x)有三個不相等的實數(shù)根的充要條件是
函數(shù)F(x)的極大值大于b,而極小值小于b
⇒b∈(-1,0)
故選B
點評:本題以多項式函數(shù)為載體,考查了方程根的個數(shù)知識點,屬于中檔題.從函數(shù)圖象聯(lián)系到方程的根,利用參數(shù)分離研究函數(shù)單調(diào)性的方法解決,是本題解決的特征.
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