Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）試比較與的大小，并說明理由；

（3）設(shè)的兩個極值點為，證明.

Answer 1

【答案】(1)；（2）；理由見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同極值點可知方程有兩個不等正根，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個不同交點；利用過一點曲線的切線的求解方法可求出過原點與相切的直線的斜率，從而可得，解不等式求得結(jié)果；（2）令，求導(dǎo)后可知在上單調(diào)遞減，從而可得，化簡可得；（3）易知是方程的兩根，令，可整理得到，從而將所證不等式化為，采用換元的方式可知只需證，恒成立；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而證得結(jié)論.

（1）由題意得：定義域為；

在上有兩個不同極值點等價于方程有兩個不等正根

即：與在有兩個不同的交點

設(shè)過的的切線與相切于點

則切線斜率，解得：

過的的切線的斜率為：

，解得：

即的取值范圍為：

（2）令，則

時，；時，

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

，即：

即：

（3）由（1）知，是方程的兩根

即：，

設(shè)，則

原不等式等價于：

即：

設(shè)，則，只需證：，

設(shè)，

在上單調(diào)遞增

即在上恒成立

所證不等式成立