【題目】二次函數(shù)f(x),又 的圖象與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),且f′(x)=1﹣2x.
(1)求f(x)的表達(dá)式.
(2)若直線y=kx把y=f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分,求k的值.
【答案】
(1)解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則f′(x)=2ax+b,
∵f′(x)=1﹣2x,∴a=﹣1,b=1,
∴ = 的圖象與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),
∴△=1+4(c﹣ )=0,解得c=0,
則f(x)=x﹣x2
(2)解:由(1)得f(x)=x﹣x2圖象與x軸交點(diǎn)是(0,0)、(1,0),
如圖:直線y=kx和y=f(x)的圖象的交點(diǎn)為A,
由 得,x=1﹣k,
∵直線y=kx把y=f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分,
∴ dx= ,
即 ×( )= ,
,解得 ,
故k的值是 .
【解析】(1)由題意設(shè)f(x)=ax2+bx+c,求出f′(x)后結(jié)合題意求出a、b,再代入 化簡,由題意和二次函數(shù)的性質(zhì)令△=0求出c的值,代入解析式求出f(x);(2)先求出f(x)=x﹣x2圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo),再畫出圖象,并求出y=kx和y=f(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合題意和定積分知識列出方程,求出k的值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,an=2n , bn=50﹣3n,cn= .
(1)求c4與c8的等差中項(xiàng);
(2)當(dāng)n>5時(shí),設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn .
(。┣骉n;
(ⅱ)當(dāng)n>5時(shí),判斷數(shù)列{Tn﹣34ln}的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣(a﹣1)x2+b2x,其中a∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3},則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 = , = ,且
(1)求 及| |
(2)若f(x)= ﹣2λ| |的最小值為 ,求正實(shí)數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f′(x)>1﹣f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式 (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( )
A.(0,+∞)
B.(﹣∞,0)∪(3,+∞)
C.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
D.(3,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓Γ: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(2 ,0),且橢圓Γ上一點(diǎn)M到其兩焦點(diǎn)F1 , F2的距離之和為4 .
(Ⅰ)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A,B,且|AB|=3 .若點(diǎn)P(x0 , 2)滿足| |=| |,求x0的值.
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