精英家教網(wǎng)如圖橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
,A是橢圓C的短軸左頂點,過A點作斜率為-1的直線交橢圓于B點,點P(1,0),且BP∥y軸,△APB的面積為
9
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)在直線AB上求一點M,使得以橢圓C的焦點為焦點,且過M的雙曲線E的實軸最長,并求此雙曲線E的方程.
分析:(1)先根據(jù)△APB的面積為
9
2
,以及AB斜率為-1,求出A,B,P的坐標,再把A,B坐標代入橢圓C的方程
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
,求出a,b的值即可.
(2)由(1)知橢圓C的焦點坐標,以及在直線AB的方程,因為M在雙曲線E上,要雙曲線E的實軸最大,只須||MF1|-|MF2||最大,找到||MF1|-|MF2|的范圍,求最值即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)S△APB=
1
2
AP•PB=
9
2
,又∠PAB=45°,AP=PB,故AP=BP=3.
∵P(1,0),A(-2,0),B(1,-3)
∴b=2,將B(1,-3)代入橢圓得:
b=2
1
b2
+
9
a2
=1
得a2=12,
所求橢圓方程為
y2
12
+
x2
4
=1

(2)設(shè)橢圓C的焦點為F1,F(xiàn)2,
則易知F1(0,-2
2
)F2(0,2
2
),
直線AB的方程為:x+y+2=0,因為M在雙曲線E上,要雙曲線E的實軸最大,只須||MF1|-|MF2||最大,設(shè)F1(0,-2
2
)關(guān)于直線AB的對稱點為F1'(2
2
-2,-2),則直線F2F1′與直線的交點為所求M,
因為F2F1′的方程為:y+(3+2
2
)x-2
2
=0
,聯(lián)立
y+(3+2
2
)x-2
2
=0
x+y+2=0
得M(1,-3)
又2a′=||MF1|-|MF2||=||MF1'|-|MF2||≤|F2F1'|
=
(2
2
-2-0)
2
+(-2-2
2
)
2
=2
6
,故
a
max
=
6
b=
2
,
故所求雙曲線方程為:
y2
6
-
x2
2
=1
點評:本題考查了直線與橢圓,雙曲線的位置關(guān)系,做題時要細心.
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(1)求橢圓C的方程;

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(1)求橢圓C的方程;

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