如圖橢圓C的方程為,A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作斜率為-1的直線交橢圓于B點(diǎn),點(diǎn)P(1,0),且BP∥y軸,△APB的面積為
(1)求橢圓C的方程;
(2)在直線AB上求一點(diǎn)M,使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且過(guò)M的雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng),并求此雙曲線E的方程.
【答案】分析:(1)先根據(jù)△APB的面積為,以及AB斜率為-1,求出A,B,P的坐標(biāo),再把A,B坐標(biāo)代入橢圓C的方程,求出a,b的值即可.
(2)由(1)知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo),以及在直線AB的方程,因?yàn)镸在雙曲線E上,要雙曲線E的實(shí)軸最大,只須||MF1|-|MF2||最大,找到||MF1|-|MF2|的范圍,求最值即可.
解答:解:(1),又∠PAB=45°,AP=PB,故AP=BP=3.
∵P(1,0),A(-2,0),B(1,-3)
∴b=2,將B(1,-3)代入橢圓得:得a2=12,
所求橢圓方程為
(2)設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2
則易知F1(0,-)F2(0,),
直線AB的方程為:x+y+2=0,因?yàn)镸在雙曲線E上,要雙曲線E的實(shí)軸最大,只須||MF1|-|MF2||最大,設(shè)F1(0,-)關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F1'(-2,-2),則直線F2F1′與直線的交點(diǎn)為所求M,
因?yàn)镕2F1′的方程為:,聯(lián)立得M(1,-3)
又2a′=||MF1|-|MF2||=||MF1'|-|MF2||≤|F2F1'|
==2,故,
故所求雙曲線方程為:
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與橢圓,雙曲線的位置關(guān)系,做題時(shí)要細(xì)心.
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y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
,A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作斜率為-1的直線交橢圓于B點(diǎn),點(diǎn)P(1,0),且BP∥y軸,△APB的面積為
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2

(1)求橢圓C的方程;
(2)在直線AB上求一點(diǎn)M,使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且過(guò)M的雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng),并求此雙曲線E的方程.

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