Question

（2006•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在y軸上，且

NM

•

NF

=0，點(diǎn)R滿(mǎn)足

NM

+

NR

=

0

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡C的方程；
（2）過(guò)B（4，0）作直線(xiàn)l交軌跡C于P、Q兩點(diǎn)，求

OP

•

OQ

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知，N是MR的中點(diǎn)，設(shè)R（x，y），則M（-x，0），N(0，

y

2

)，由

NM

•

NF

=0可得x，y的方程；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①若直線(xiàn)l垂直于軸，易求；②當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-4），與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組并消掉x可得y的二次方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理及數(shù)量積運(yùn)算可求得結(jié)果；

解答：解：（1）由已知，N是MR的中點(diǎn)，設(shè)R（x，y），則M（-x，0），N(0，

y

2

)，
∴

NM

={-x，-

y

2

}，

NF

={1，-

y

2

}，
由

NM

•

NF

=0，得-x+

y2

4

=0，即y²=4x，
∴動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為y²=4x；
（2）①若直線(xiàn)l垂直于軸，則的方程為x=4，則P（4，4），Q（4，-4），

OP

•

OQ

=0；
②當(dāng)直線(xiàn)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-4），
由

y=k(x-4) y2=4x

，得ky²-4y-16k=0，
當(dāng)k≠0時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)總有兩個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-16，
∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

(y1y2)2

16

+y1y2=16-16=0，
綜上，

OP

•

OQ

=0；

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、向量與圓錐曲線(xiàn)的綜合，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．