Question

在正四面體A-BCD中，棱長為4，M是BC的中點，P在線段AM上運動（P不與A、M重合），過點P作直線l⊥平面ABC，l與平面BCD交于點Q，給出下列命題：①BC⊥面AMD；②Q點一定在直線DM上 ③V_C-AMD=4

2

．其中正確的是（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

分析：①因為AM⊥BC，DM⊥BC所以BC⊥平面ADM．故①正確
②因為PQ⊥平面BCD，BC?平面BCD所以PQ⊥BC因為P∈AM所以P∈平面AMD因為BC⊥平面AMD所以Q∈平面AMD因為平面AMD∩平面BCD=MD所以Q∈MD故②正確．
③因為BC⊥平面ADM∴把MC作為四面體C-MAD的高，△AMD為其底面，S△AMD=4

2

，VC-AMD=

8 2

3

．故③錯誤

解答：解：∵A-BCD為正四面體且M為BC的中點
∴AM⊥BC，DM⊥BC
又∵AM∩DM=M
∴BC⊥平面ADM
故①正確．
∵PQ⊥平面BCD，BC?平面BCD
∴PQ⊥BC
又∵P∈AM∴P∈平面AMD
又∵BC⊥平面AMD
∴Q∈平面AMD
又∵平面AMD∩平面BCD=MD
∴Q∈MD
故②正確．
由①得BC⊥平面ADM∴把MC作為四面體C-MAD的高，△AMD為其底面
在三角形△AMD中AM=MD=2

3

，AD=4
∴S△AMD=4

2

∴VC-AMD=

1

3

×4

2

×2=

8 2

3

故③錯誤．
故選A．

點評：證明線面垂直要找到直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直這是關(guān)鍵；證明點在直線上只要證明點在兩個平面的交線上即可；求四面體的體積關(guān)鍵是找到合適的底面與高即底面與高要簡單易求．