如圖,三棱錐A-BCD的底面是等腰直角三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=BD=2,E是棱CD上的任意一點(diǎn),F(xiàn)、G分別是AC、BC的中點(diǎn),則在下面的命題中:①平面ABE⊥平面BCD;②平面EFG∥平面ABD;③四面體FECG的體積最大值是
1
3
,真命題的個(gè)數(shù)是( 。
分析:由AB⊥平面BCD,AB?平面ABE,知平面ABE⊥平面BCD;由F、G分別是AC、BC的中點(diǎn),知FG∥平面ABD,由E是棱CD上的任意一點(diǎn),知FE和FG都不平行于平面ABD,故平面EFG和平面ABD不平行;點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),四面體FECG的體積最大,由此能求出四面體FECG的體積最大值.
解答:解:∵AB⊥平面BCD,AB?平面ABE,
∴平面ABE⊥平面BCD,故①正確;
∵F、G分別是AC、BC的中點(diǎn),
∴FG∥AB,
∵FG?平面ABD,AB?平面ABD,
∴FG∥平面ABD,
∵E是棱CD上的任意一點(diǎn),
∴FE和FG都不平行于平面ABD,
故平面EFG和平面ABD不平行,即②錯(cuò)誤.
∵F、G分別是AC、BC的中點(diǎn),∴FG∥AB,且FG=
1
2
AB,
∵AB⊥平面BCD,∴FG⊥平面BCD,
∴點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),四面體FECG的體積最大.
∵三棱錐A-BCD的底面是等腰直角三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=BD=2
∴S△DCG=S△BCD-S△BDG=
1
2
×2×2
-
1
2
×1×2
=1,
∴四面體FECG的體積最大值V=
1
3
×1×1
=
1
3
,故③正確.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直、平面與平面平行的判斷和證明,考查棱錐的體積的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地化立體問題為平面問題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,三棱錐A-BCD中,AB⊥底面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),則AE的長為( 。
A、
2
B、
3
C、2
D、
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,三棱錐A-BCD,BC=3,BD=4,CD=5,AD⊥BC,E,F(xiàn)分別是棱AB,CD的中點(diǎn),連接CE,G為CE上一點(diǎn).
(1)GF∥平面ABD,求
CGGE
的值;
(2)求證:DE⊥BC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•濱州一模)如圖,三棱錐A-BCD中,AD、BC、CD兩兩互相垂直,且AB=13,BC=3,CD=4,M、N分別為AB、AC的中點(diǎn).
(1)求證:BC∥平面MND;
(2)求證:平面MND⊥平面ACD;
(3)求三棱錐A-MND的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,三棱錐A-BCD是正三棱錐,O為底面BCD的中心,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)D、OA為y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,若|
OA
|=|
BC
|=12
,則線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)是
 

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