(2013•豐臺區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
4
+y2=1
的短軸的端點(diǎn)分別為A,B,直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),其中點(diǎn)M (m,
1
2
) 滿足m≠0,且m≠±
3

(Ⅰ)求橢圓C的離心率e;
(Ⅱ)用m表示點(diǎn)E,F(xiàn)的坐標(biāo);
(Ⅲ)若△BME面積是△AMF面積的5倍,求m的值.
分析:(Ⅰ)利用橢圓的離心率計(jì)算公式e=
c
a

(Ⅱ)利用點(diǎn)斜式分別寫出直線AM、BM的方程,與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)E、F的坐標(biāo);
(Ⅲ)利用三角形的面積公式及其關(guān)系得到
5|MA|
|ME|
=
|MB|
|MF|
,再利用坐標(biāo)表示出即可得到m的值.
解答:解:(Ⅰ)依題意知a=2,c=
3
,∴e=
3
2
;              
(Ⅱ)∵A(0,1),B(0,-1),M (m,
1
2
),且m≠0,
∴直線AM的斜率為k1=-
1
2m
,直線BM斜率為k2=
3
2m
,
∴直線AM的方程為y=-
1
2m
x+1
,直線BM的方程為y=
3
2m
x-1

x2
4
+y2=1
y=-
1
2m
x+1
得(m2+1)x2-4mx=0,
x=0,x=
4m
m2+1
,∴E(
4m
m2+1
m2-1
m2+1
)
,
x2
4
+y2=1
y=
3
2m
x-1
得(9+m2)x2-12mx=0,
x=0,x=
12m
m2+9
,∴F(
12m
m2+9
,
9-m2
m2+9
)
;                
(Ⅲ)∵S△AMF=
1
2
|MA||MF|sin∠AMF
,S△BME=
1
2
|MB||ME|sin∠BME
,∠AMF=∠BME,5S△AMF=S△BME,
∴5|MA||MF|=|MB||ME|,∴
5|MA|
|ME|
=
|MB|
|MF|
,
5m
4m
m2+1
-m
=
m
12m
9+m2
-m
,
∵m≠0,∴整理方程得
1
m2+1
=
15
m2+9
-1
,即(m2-3)(m2-1)=0,
又∵m≠±
3
,∴m2-3≠0,∴m2=1,∴m=±1為所求.
點(diǎn)評:熟練掌握橢圓的離心率、點(diǎn)斜式、直線與橢圓的相交問題的解題模式、三角形的面積計(jì)算公式、比例式如何用坐標(biāo)表示是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•豐臺區(qū)二模)已知偶函數(shù)f(x)(x∈R),當(dāng)x∈(-2,0]時(shí),f(x)=-x(2+x),當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),f(x)=(x-2)(a-x)(a∈R).
關(guān)于偶函數(shù)f(x)的圖象G和直線l:y=m(m∈R)的3個(gè)命題如下:
①當(dāng)a=2,m=0時(shí),直線l與圖象G恰有3個(gè)公共點(diǎn);
②當(dāng)a=3,m=
1
4
時(shí),直線l與圖象G恰有6個(gè)公共點(diǎn);
③?m∈(1,+∞),?a∈(4,+∞),使得直線l與圖象G交于4個(gè)點(diǎn),且相鄰點(diǎn)之間的距離相等.
其中正確命題的序號是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•豐臺區(qū)二模)若函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,1]上的最大值為4,最小值為m,則m的值是
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16
1
2
1
16
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•豐臺區(qū)二模)已知偶函數(shù)f(x)(x∈R),當(dāng)x∈(-2,0]時(shí),f(x)=-x(2+x),當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),f(x)=(x-2)(a-x)(a∈R).
關(guān)于偶函數(shù)f(x)的圖象G和直線l:y=m(m∈R)的3個(gè)命題如下:
①當(dāng)a=4時(shí),存在直線l與圖象G恰有5個(gè)公共點(diǎn);
②若對于?m∈[0,1],直線l與圖象G的公共點(diǎn)不超過4個(gè),則a≤2;
③?m∈(1,+∞),?a∈(4,+∞),使得直線l與圖象G交于4個(gè)點(diǎn),且相鄰點(diǎn)之間的距離相等.
其中正確命題的序號是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•豐臺區(qū)二模)下列四個(gè)函數(shù)中,最小正周期為π,且圖象關(guān)于直線x=
π
12
對稱的是( 。

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