Question

已知圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=9，P（2，2）是該圓內一點，過點P的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積是（　　）

• A．3

  5

• B．4

  5

• C．5

  7

• D．6

  7

Answer 1

分析：根據題意，AC為經過點P的圓的直徑，而BD是與AC垂直的弦．因此算出PM的長，利用垂直于弦的直徑的性質算出BD長，根據四邊形的面積公式即可算出四邊形ABCD的面積．

解答：解：∵圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=9，
∴圓心坐標為M（1，1），半徑r=3．
∵P（2，2）是該圓內一點，
∴經過P點的直徑是圓的最長弦，且最短的弦是與該直徑垂直的弦．
結合題意，得AC是經過P點的直徑，BD是與AC垂直的弦．
∵|PM|=

(1-2)2+(1-2)2

=

2

，
∴由垂徑定理，得|BD|=2

r2-PM2

=2

7

．
因此，四邊形ABCD的面積是S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

×6×2

7

=6

7

．
故選：D

點評：本題給出圓內一點P，求經過點P最長的弦與最短的弦構成的四邊形的面積．著重考查了圓的標準方程、兩點間的距離公式和垂直于弦的直徑的性質等知識，屬于中檔題．