Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x-2
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x-2，通過求導(dǎo)得出f′（x）＜0，解出即可；
（Ⅱ）f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，在[-2，-1]上單調(diào)遞減，因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x-2
∴f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）．
（Ⅱ）∵f（-2）=8+12-18-2=0，f（2）=-8+12+18-2=20，
∴f（2）＞f（-2）．
∵x∈（-1，3）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，
又由于f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，
因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值．
于是有f（x）_max=20，f（x）_min=-7．

點評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值問題，本題是一道基礎(chǔ)題．