Question

某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式y(tǒng)=

a

x-4

+10（x-7）²，其中3＜x＜7，a為常數(shù)，已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出該商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成本為4元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的實(shí)際應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由銷售價格為4元/千克時，每日可銷售出該商品5千克；銷售價格為4.5元/千克時，每日可銷售出該商品2.35千克，建立方程，即可求出f（x）的解析式；
（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對應(yīng)的x值．

解答： 解：（1）由題意，11=

a

6-4

+10（6-7）²，解得a=2，故f（x）=

2

x-4

+10（x-7）²（3＜x＜7）；
（ 2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤為y=g（x）=（x-4）f（x）=2+10（x-7）²（x-4）（3＜x＜7），
y′=30（x-7）（x-5）．
列表得x，y，y′的變化情況：

x	（3，5）	5	（5，7）
y'	+	0	-
y	單調(diào)遞增	極大值42	單調(diào)遞減

由上表可得，x=5是函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，7）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，此時y=42元

點(diǎn)評：本題函數(shù)解析式的建立比較容易，考查的重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，屬于中檔題．