Question

已知f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)，若f（x）是奇函數(shù)
（Ⅰ）求實數(shù)a的值．
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)是奇函數(shù)，則f（0）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，通過化簡變形判定f（x₁）-f（x₂）的符號，最后根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷證明．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即f（0）=

a•20+a-2

20+1

=

2a-2

2

=0，
∴a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=1，
∴f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∴f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用f（0）=0，是解決本題的關(guān)鍵．同時考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．屬于中檔題．