Question

定義在R上的函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)分別為f′（x），g′（x），則下面結(jié)論正確的是（　�。�
①若f′（x）＞g′（x），則函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）的圖象上方；
②若函數(shù)f′（x）與g′（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）=f（a-x），則f′（x）=-f′（a-x）；
④若f′（x）是增函數(shù)，則f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．

• A、①②
• B、①②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①由f′（x）＞g′（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：函數(shù)f（x）比g（x）增加的快，而函數(shù)f（x）的圖象不一定在函數(shù)g（x）的圖象上方；
②利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，考慮其逆否命題即可得出；
③由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則即可得出；
④利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出．

解答：解：①由f′（x）＞g′（x），說明函數(shù)f（x）比g（x）增加的快，而函數(shù)f（x）的圖象不一定在函數(shù)g（x）的圖象上方，因此不正確；
②由函數(shù)f′（x）與g′（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，可得f′（x）=g′（2a-x）．
假設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）不對(duì)稱，則g（2a-x）≠-f（x），
∴g′（2a-x）≠f′（x），
這與f′（x）=g′（2a-x）相矛盾，因此假設(shè)不成立．
∴函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，正確．
③函數(shù)f（x）=f（a-x），由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可得：f′（x）=-f′（a-x），故正確；
④由f′（x）是增函數(shù)，可得f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

正確．
綜上可知：②③④正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的意義及其運(yùn)算法則、函數(shù)的軸對(duì)稱等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．