Question

【題目】如圖所示的幾何體中，正方形所在平面垂直于平面，四邊形為平行四邊形，G為上一點，且平面，.

(1)求證：平面平面；

(2)當三棱錐體積最大時，求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析

(2)

【解析】

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理可以得到線面垂直，然后得到線線垂直，再由已知的線面垂直得到線線垂直，利用線面垂直的判斷定理得到線面垂直，最后利用面面垂直的判定定理證明出面面垂直；

(2)通過三棱錐的體積公式，由等積法可以得到：求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．設出兩個線段的長，建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積公式可以求出平面與平面所成二面角的余弦值，最后利用同角的三角函數(shù)關系式中的平方和關系求出平面與平面所成二面角的正弦值.

(1)證明：因為平面平面，平面平面，

四邊形正方形，即，平面，

所以平面，

又因為平面，所以，

因為平面，平面，

所以，

因為，平面，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面．

(2)解：，

求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．

令，，

由(1)知，，

所以，當且僅當，

即時，，

以中點為坐標原點建立空間直角坐標系如圖，則

，，，

設為平面的一個法向量，

則，

可取，則，

因為四邊形為平行四邊形，為等腰直角三角形，

所以四邊形為正方形，取平面的一個法向量為，

所以，所以，

即平面與平面所成二面角的正弦值為.