[理]如圖,已知動點A,B分別在圖中拋物線y2=4x及橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的實線上運動,若ABx軸,點N的坐標為(1,0),則△ABN的周長l的取值范圍是______.
[文]點P是曲線y=x2-lnx上任意一點,則P到直線y=x-2的距離的最小值是______.
[理]依題意可知拋物線準線為x=-1
橢圓右準線為x=4
設A(x1,y) B(x2,y)
過A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4
由圓錐曲線第二定義
|NA|=|AH|=x1+1
|NB|=|BH|•
1
2
=
4-x2
2

L=x1+1+x2-x1+
4-x2
2
=
x2+6
2

聯(lián)立拋物線和橢圓方程求得x=
2
3
或-6(舍負)
2
3
≤x2≤2
10
3
x2+6
2
≤4
即L的取值范圍是(
10
3
,4

[文]點P是曲線y=x2-lnx上任意一點,
當過點P的切線和直線y=x-2平行時,
點P到直線y=x-2的距離最。
直線y=x-2的斜率等于1,
令y=x2-lnx的導數(shù) y′=2x-
1
x
=1,x=1,或 x=-
1
2
(舍去),
故曲線y=x2-lnx上和直線y=x-2平行的切線經(jīng)過的切點坐標(1,1),
點(1,1)到直線y=x-2的距離等于
2
,
故點P到直線y=x-2的最小距離為
2
,
故答案為:(
10
3
,4
),
2
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
3
2
,直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點,且OP⊥OQ,求該橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

如果橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
的弦被點(2,2)平分,那么這條弦所在的直線的方程是( 。
A.x+4y=0B.x+4y-10=0C.x+4y-6=0D.x-4y-10=0

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設x,y∈R,
i
j
為直角坐標平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量,若
a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8
(Ⅰ)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設曲線C上兩點AB,滿足(1)直線AB過點(0,3),(2)若
OP
=
OA
+
OB
,則OAPB為矩形,試求AB方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,已知圓C:(x+1)2+y2=8,定點A(1,0),M為圓C上一動點,點P在線段AM上,點N在線段CM上,且滿足
AM
=2
AP
NP
AM
=0
,點N的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)若過定點F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點G、H(點G在點F、H之間),且滿足
FG
FH
,求λ
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點為F,橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
3
2
,C1與C2在第一象限的交點為P(
3
1
2

(1)求拋物線C1及橢圓C2的方程;
(2)已知直線l:y=kx+t(k≠0,t>0)與橢圓C2交于不同兩點A、B,點M滿足
AM
+
BM
=
0
,直線FM的斜率為k1,試證明k•k1
-1
4

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限,半徑為2
2
的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)試探求C上是否存在異于原點的點Q,使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,橢圓的短軸端點與雙曲線
y2
2
-x2
=1的焦點重合,過P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(Ⅰ)求橢C的方程;
(Ⅱ)求
OA
OB
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標系xOy中,動點p(x,y)(x≥0)滿足:點p到定點F(
1
2
,0)與到y(tǒng)軸的距離之差為
1
2
.記動點p的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)過點F的直線交曲線C于A、B兩點,過點A和原點O的直線交直線x=-
1
2
于點D,求證:直線DB平行于x軸.

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