【題目】如圖,ABC﹣A1B1C1是底面邊長(zhǎng)為2,高為 的正三棱柱,經(jīng)過(guò)AB的截面與上底面相交于PQ,設(shè)C1P=λC1A1(0<λ<1).、
(1)證明:PQ∥A1B1;
(2)當(dāng) 時(shí),求點(diǎn)C到平面APQB的距離.
【答案】
(1)證明:∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面ABC∩平面ABQP=AB,平面ABQP∩平面A1B1C1=QP,
∴AB∥PQ,
又∵AB∥A1B1,
∴PQ∥A1B1.
(2)解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
∴O(0,0,0),P(0,0, ),A(0,1,0),B(﹣ ,0,0),C(0,﹣1,0),
∴ =(0,﹣1, ), =(﹣ ,﹣1,0), =(0,﹣2,0),
設(shè)平面APQB的法向量為 =(x,y,z),
則 ,可得 ,
取 = ,
∴點(diǎn)C到平面APQB的距離d= = = .
【解析】(1)由平面ABC∥平面A1B1C1 , 利用線面平行的性質(zhì)定理可得:AB∥PQ,又AB∥A1B1 , 即可證明PQ∥A1B1 . (2)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)平面APQB的法向量為 =(x,y,z),則 ,利用點(diǎn)C到平面APQB的距離d= 即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解棱柱的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識(shí),掌握兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,過(guò)點(diǎn),的直線傾斜角為,原點(diǎn)到該直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)斜率大于零的直線過(guò)與橢圓交于E,F兩點(diǎn),若,求直線EF的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面上,我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角,那么截下的一個(gè)直角三角形,按圖所標(biāo)邊長(zhǎng),由勾股定理有:c2=a2+b2。設(shè)想正方形換成正方體,把截線換成如下圖的截面,這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN,如果用S1,S2,S3表示三個(gè)側(cè)面面積,S4表示截面面積,那么你類比得到的結(jié)論是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足a1=2,an+1=3an+2,
(1)證明:是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(2)證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,是等腰三角形,且.四邊形是直角梯形,,,,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)當(dāng)平面 平面時(shí),求四棱錐的體積;
(Ⅲ)請(qǐng)?jiān)趫D中所給的五個(gè)點(diǎn)中找出兩個(gè)點(diǎn),使得這兩點(diǎn)所在的直線與直線垂直,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 ( t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系,圓C的方程為 ρ=2 sinθ.
(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,0),圓C與直線l交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上,對(duì)a,b,c∈A,f(a),f(b),f(c)為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),則稱函數(shù)f(x)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=xlnx+m在區(qū)間[ ,e]上是“三角形函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函數(shù)y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:m∈R,使得函數(shù)f(x)=x2+(m﹣1)x2﹣2是奇函數(shù),命題q:向量 =(x1 , y1), =(x2 , y2),則“ = ”是:“ ”的充要條件,則下列命題為真命題的是( )
A.p∧q
B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q)
D.(¬p)∧(¬q)
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