Question

如圖，橢圓的兩頂點為A(

2

，0)，B（0，1），該橢圓的左右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂．
（1）在線段AB上是否存在點C，使得CF₁⊥CF₂？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
（2）設(shè)過F₁的直線交橢圓于P，Q兩點，求△PQF₂面積的最大值．

Answer 1

由已知可得橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，
且有：a=

2

，b=c=1，F(xiàn)₁（-1，0），
F₂（1，0），

AB

=(-

2

，1)．
（1）假設(shè)存在點C，使得CF₁⊥CF₂，
則：OC=

1

2

F1F2=1，
令

AC

=λ

AB

（λ∈[0，1]），
而

OC

=

OA

+

AC

=

OA

+λ

AB

=
(

2

，0)+λ(-

2

，1)=(

2

-λ

2

，λ)，
故有：(

2

-

2

λ)2+λ2=1，解得λ=1或λ=

1

3

．
所以點C的坐標為C（0，1）或C(

2 2

3

，

1

3

)．

（2）若設(shè)過F₁的直線l交橢圓于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由焦半徑公式可得：PQ=PF1+QF1=(a+ex1)+(a+ex2)=2

2

+

2

2

(x1+x2)，
當PQ⊥x軸時，x₁=x₂=-1，此時S△PQF2=

1

2

PQ•F1F2=PQ=2

2

-

2

=

2

．
當PQ與x軸不垂直時，不妨設(shè)直線PQ的方程為y=k（x+1），（k＞0），
則由：

y=k(x+1) x2+2y2=2

得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，故x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
于是可得：PQ=2

2

+

2

2

(x1+x2)=2

2

-

2

2

•

4k2

2k2+1

=2

2

•

k2+1

2k2+1

．
又由點到直線的距離公式可得點F₂到PQ的距離d=

2k

k2+1

，
故S△PQF2=

1

2

PQ•d=

1

2

•2

2

•

k2+1

2k2+1

•

2k

k2+1

=2

2

•

k• k2+1

2k2+1

．
因為2k2+1=k2+k2+1＞2k•

k2+1

，
所以S△PQF2=2

2

•

k• k2+1

2k2+1

＜

2

．
綜上可知，當直線PQ⊥x軸時，△PQF₂的面積取到最大值

2

．