已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為
l1，l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B（如圖）．
（1）當(dāng)l1與l2的夾角為60°，且△POF的面積為
3
2
時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)
FA
=λ
AP
時(shí)，求當(dāng)λ取到最大值時(shí)橢圓的離心率．
（1）l1的斜率為-
b
a
，l2的斜率為
b
a
，由l1與l2的夾角為60°，
得|
b
a
+
b
a
1-(
b
a
)2
|=
3
，整理，得a=
3
b．①
由
y=
b
a
x
y=
a
b
(x-c).
，得P(
a2
c
，
ab
c
)．
由S△POF=
3
2
，得
1
2
•c•
ab
c
=
3
2
．
∴ab=
3
．②
由①②，解得a=
3
，b=1．
∴橢圓C方程為：
x2
3
+y2=1．
（2）由P(
a2
c
，
ab
c
)，F(xiàn)（c，0）及
FA
=λ
AP
，得A(
c+
λa2
c
1+λ
，
λab
c
1+λ
)．
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得
(c+
λa2
c
)2
(1+λ)2
+
(
λab
c
)2
(1+λ)2
=1．
整理，得λ2=
e2(1-e2)
2-e2
=-[(2-e2)+
2
2-e2
]+3≤3-2
2
，
∴λ的最大值為
2
-1，此時(shí)e=
2-
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
16
+
y2
9
=1的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|A1B2|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線m過(guò)Q（1，1），且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)Q是MN的中點(diǎn)時(shí)，求直線m的方程．
（Ⅲ）設(shè)n為過(guò)原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)A，B的直線，|
OP
|=1，是否存在上述直線l使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B是過(guò)焦點(diǎn)F1的一條動(dòng)弦，則△ABF2的面積的最大值為（　　）
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的兩頂點(diǎn)為A(
2
，0)，B（0，1），該橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．
（1）在線段AB上是否存在點(diǎn)C，使得CF1⊥CF2？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）設(shè)過(guò)F1的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求△PQF2面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

曲線y=x2上的點(diǎn)到直線2x+y+4=0的最短距離是（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

某圓錐曲線有下列信息：
①曲線是軸對(duì)稱圖形，且兩坐標(biāo)軸都是對(duì)稱軸；
②焦點(diǎn)在x軸上且焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1；
③曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)不是兩個(gè)；
④曲線過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
）．
（1）判斷該圓錐曲線的類型并求曲線的方程；
（2）點(diǎn)F是改圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F′是F關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，短軸長(zhǎng)為2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從定點(diǎn)M（0，2）任作直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，記線段AB的中點(diǎn)為P，試求點(diǎn)P的軌跡方程．

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