Question

某廠家擬對一商品舉行促銷活動，當(dāng)該商品的售價(jià)為x元時(shí)，全年的促銷費(fèi)用為12（15-2x）（x-4）萬元；根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，實(shí)施促銷后的年銷售量t=12(x-8)2+

a

x-4

萬件，其中4＜x＜7.5，a為常數(shù)．當(dāng)該商品的售價(jià)為6元時(shí)，年銷售量為49萬件．
（Ⅰ）求出a的值；
（Ⅱ）若每件該商品的成本為4元時(shí)，寫出廠家銷售該商品的年利潤y萬元與售價(jià)x元之間的關(guān)系；
（Ⅲ）當(dāng)該商品售價(jià)為多少元時(shí)，使廠家銷售該商品所獲年利潤最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)該商品的售價(jià)為6元時(shí)，年銷售量為49萬件，t=12(x-8)2+

a

x-4

，即可求得a的值；
（Ⅱ）每件該商品的成本為4元時(shí)，y=（x-4）t-[12（15-2x）（x-4）]，由此可得函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大值為50．

解答：解：（Ⅰ）∵該商品的售價(jià)為6元時(shí)，年銷售量為49萬件，t=12(x-8)2+

a

x-4

，
∴49=12（6-8）²+

a

2

∴a=2；
（Ⅱ）每件該商品的成本為4元時(shí)，y=（x-4）t-[12（15-2x）（x-4）]
∴y=（x-4）[12(x-8)2+

2

x-4

]-[12（15-2x）（x-4）]
=12（x-4）（x-7）²+2（4＜x＜7.5）
（Ⅲ）y′=36（x-7）（x-5）
令y′＞0，4＜x＜7.5，可得4＜x＜5或7＜x＜7.5；令y′＜0，4＜x＜7.5，可得5＜x＜7；
∴當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大值為50
∴該商品售價(jià)為5元時(shí)，使廠家銷售該商品所獲年利潤最大．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，單峰函數(shù)極值就是最值，屬于中檔題．