Question

甲、乙兩地相距300千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時．已知汽車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，且比例系數(shù)為0.02；固定部分為200元．
（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？全程運(yùn)輸成本最小是多少？

Answer 1

分析：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為

300

v

，全程運(yùn)輸成本為y=200×

300

v

+0.02v2×

300

v

=6(

10000

v

+v)
（2）由（1）知，全程運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)了積為定值的情形，由于等號成立的條件有可能不成立，故求最值的方法不確定，對對速度的范圍進(jìn)行分類討論，如等號成立時速度值不超過c，則可以用基本不等式求求出全程運(yùn)輸成本的最小值，若等號成立時速度值大于最高限速v，可以判斷出函數(shù)在（0，c]上的單調(diào)性，用單調(diào)性求出全程運(yùn)輸成本的最小值．

解答：解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為

300

v

，全程運(yùn)輸成本為y=200×

300

v

+0.02v2×

300

v

=6(

10000

v

+v)…3分
故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?span id="rpblx9f" class="MathJye">y=6(

10000

v

+v)，v∈（0，c]…4分
（2）依題意，有

10000

v

+v≥200．
當(dāng)且僅當(dāng)

10000

v

=v，即v=100時上式中等號成立．
而v∈（0，c]，所以
當(dāng)v=100∈（0，c]，c≥100時，

10000

v

+v取最小值
所以ymin=6(

10000

v

+v)≥1200
也即當(dāng)v=100時，全程運(yùn)輸成本y最小達(dá)到1200元．…8分
當(dāng)v=100∉（0，c]，即c＜100時，
取v=c，y=6(

10000

v

+v)達(dá)到最小值，即ymin=6(

10000

c

+c)
也即當(dāng)v=c時，全程運(yùn)輸成本y最小達(dá)到6(

10000

c

+c)元．（…12分）
綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)c≥100時行駛速度應(yīng)為100，此時運(yùn)輸成本為1200元；當(dāng)c＜100時行駛速度應(yīng)為v=c，此時運(yùn)輸成本為6(

10000

c

+c)．…12分．

點(diǎn)評：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實(shí)際問題的能力．