如圖,AA1、BB1為圓柱OO1的母線,BC是底面圓O的直徑,D、E分別是AA1、CB1的中
點,DE⊥面CBB1
(1)證明:DE∥面ABC;
(2)求四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積比;
(3)若BB1=BC,求CA1與面BB1C所成角的正弦值.

【答案】分析:(1)先證明四邊形AOED是平行四邊形,即可得到 DE∥OA,從而證得DE∥面ABC.
(2)由CA⊥AB,且AA1⊥CA,可得CA⊥面AA1B1B,即CA為四棱錐的高,設(shè)圓柱高為h,底半徑為r,則V=πr2h,求出椎體的體積,即可得到四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積比.
(3)先證 A1O1⊥面CBB1C1,則∠A1CO1為CA1與面BB1C所成的角,在Rt△A1O1C中,由
求得CA1與面BB1C所成角的正弦值.
解答:解:(1)證明:連接EO,OA.∵E,O分別為B1C,BC的中點,∴EO∥BB1
又DA∥BB1,且.∴四邊形AOED是平行四邊形,
即DE∥OA,DE?面ABC.∴DE∥面ABC.
(2)由題DE⊥面CBB1,且由(1)知DE∥OA.∴AO⊥面CBB1,∴AO⊥BC,
∴AC=AB.因BC是底面圓O的直徑,得CA⊥AB,且AA1⊥CA,
∴CA⊥面AA1B1B,即CA為四棱錐的高.
設(shè)圓柱高為h,底半徑為r,則V=πr2h,,
∴V:V=
(3)解:作過C的母線CC1,連接B1C1,則B1C1是上底面圓O1的直徑,
連接A1O1,得A1O1∥AO,又AO⊥面CBB1C1,
∴A1O1⊥面CBB1C1,連接CO1,
則∠A1CO1為CA1與面BB1C所成的角,
設(shè)BB1=BC=2,則,
A1O1=1.(12分)
在Rt△A1O1C中,
點評:本題考查證明線面平行的方法,求棱錐的體積和直線與平面成的角,找出∠A1CO1為CA1與面BB1C所成的角,是解題的難點.
練習冊系列答案
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(I)證明:DE∥平面ABC;
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(1)證明:DE∥面ABC;
(2)證明:面A1B1C⊥面A1AC;
(3)求四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積比.

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