Question

如圖，AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點，DE⊥面CBB₁．
（1）證明：DE∥面ABC；
（2）求四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比；
（3）若BB₁=BC，求CA₁與面BB₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明四邊形AOED是平行四邊形，即可得到 DE∥OA，從而證得DE∥面ABC．
（2）由CA⊥AB，且AA₁⊥CA，可得CA⊥面AA₁B₁B，即CA為四棱錐的高，設圓柱高為h，底半徑為r，則V_柱=πr²h，求出椎體的體積，即可得到四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比．
（3）先證 A₁O₁⊥面CBB₁C₁，則∠A₁CO₁為CA₁與面BB₁C所成的角，在Rt△A₁O₁C中，由sin∠A1CO1=

A1O1

A1C

求得CA₁與面BB₁C所成角的正弦值．

解答：解：（1）證明：連接EO，OA．∵E，O分別為B₁C，BC的中點，∴EO∥BB₁．
又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2

BB1．∴四邊形AOED是平行四邊形，
即DE∥OA，DE?面ABC．∴DE∥面ABC．
（2）由題DE⊥面CBB₁，且由（1）知DE∥OA．∴AO⊥面CBB₁，∴AO⊥BC，
∴AC=AB．因BC是底面圓O的直徑，得CA⊥AB，且AA₁⊥CA，
∴CA⊥面AA₁B₁B，即CA為四棱錐的高．
設圓柱高為h，底半徑為r，則V_柱=πr²h，V錐=

1

3

h(

2

r)•(

2

r)=

2

3

hr2，
∴V_錐：V_柱 =

2

3π

．
（3）解：作過C的母線CC₁，連接B₁C₁，則B₁C₁是上底面圓O₁的直徑，
連接A₁O₁，得A₁O₁∥AO，又AO⊥面CBB₁C₁，
∴A₁O₁⊥面CBB₁C₁，連接CO₁，
則∠A₁CO₁為CA₁與面BB₁C所成的角，
設BB₁=BC=2，則A1C=

22+( 2 )2

=

6

，
A₁O₁=1．（12分）
在Rt△A₁O₁C中，sin∠A1CO1=

A1O1

A1C

=

6

6

．

點評：本題考查證明線面平行的方法，求棱錐的體積和直線與平面成的角，找出∠A₁CO₁為CA₁與面BB₁C所成的角，是解題的難點．