Question

已知圓C：（x+4）²+y²=4，圓D的圓心在y軸上且與圓C外切，圓D與y軸交于A、B兩點（點A在點B上方），點P(-2

3

，0)．
（I）圓D的圓心在什么位置時，圓D與x軸相切；
（II）當圓心D在y軸的任意位置時，求直線AP與直線BP的傾斜角的差．

Answer 1

分析：（I）解：設(shè)D（0，a），則由題意可得

42+a2

=2+|a|，16+a²=4+4|a|+a²，解得a的值，可得D的坐標．
（II）設(shè)圓D的方程為x²+（y-a）²=r²（r＞0），則點A（0，a+r），點 B（0，a-r），再由圓D與與圓C外切點，可得

16+a2

=2+r，化簡可得 a²=r²+4r-12．
設(shè)直線AP、BP的傾斜角分別為α，β，則tanα=

a+r

2 3

，tanβ=

α-r

2 3

，再利用兩角差的正切公式求得tan（α-β）的值．再分①當A、B兩點同在y軸的正半軸
（含原點）時，②當A、B兩點同在y軸的負半軸時，③當A、B兩點分別在y軸的正、負半軸時，三種情況，分別求得α-β的值．

解答：解：（I）設(shè)D（0，a）∵圓D與x軸相切，∴圓D半徑r=|a|．又∵圓D與圓C外切，∴

42+a2

=2+|a|．…（2分）
∴16+a²=4+4|a|+a²，∴|a|=3，即a=±3．∴當D在（0，3）或（0，-3）時，圓D與x軸相切．…（4分）
（II）證明：設(shè)圓D的方程為x²+（y-a）²=r²（r＞0），令x=0可得y=a±r．
又點A在點B上方），則點A（0，a+r），點 B（0，a-r），再由圓D與與圓C外切，可得

16+a2

=2+r，
化簡可得 a²=r²+4r-12．…（5分）
設(shè)直線AP、BP的傾斜角分別為α，β，則tanα=

a+r

2 3

，tanβ=

α-r

2 3

．…（6分）
∴tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

a+r 2 3 - a-r 2 3

1+ a+r 2 3 × a-r 2 3

=

r 3

12+a2-r2 12

=

r

3

×

12

4r

=

3

．…（8分）
①當A、B兩點同在y軸的正半軸（含原點）時，
有0＜α＜

π

2

，0≤β＜

π

2

，又點A在B的上方，∴α＞β，∴0＜α-β＜

π

2

，∴α-β=

π

3

．…（9分）
②當A、B兩點同在y軸的負半軸時，
有

π

2

＜α＜π，

π

2

＜β＜π，α＞β，∴0＜α-β＜

π

2

，∴α-β=

π

3

．…（10分）
③當A、B兩點分別在y軸的正、負半軸時，
有0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，∴-π＜α-β＜0，∴α-β=-

2π

3

．…（11分）
綜上，直線AP與直線BP的傾斜角的差為

π

3

或-

2π

3

．…（12分）

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系、兩個圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線的傾斜角和斜率，屬于中檔題．