Question

已知圓C：（x-4）²+（y-m）²=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過(guò)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，且交圓C所得的弦長(zhǎng)為

32

5

，點(diǎn)A（3，1）在橢圓E上．
（Ⅰ）求m的值及橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

AC

•

AQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線交圓的弦長(zhǎng)的值，進(jìn)而求得圓心C（4，m）到直線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得m，進(jìn)而求得橢圓E的焦點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義求得a，進(jìn)而根據(jù)a和c求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）設(shè)Q的坐標(biāo)，表示出

AQ

，進(jìn)而設(shè)x+3y=n與橢圓方程聯(lián)立，消去y根據(jù)判別式求得n的范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)橹本�4x-3y-16=0交圓C所得的弦長(zhǎng)為

32

5

，
所以圓心C（4，m）到直線4x-3y-16=0的距離等于

42-( 16 5 )2

=

12

5

，
即

|4×4-3×m-16|

5

=

12

5

∴m=4，或m=-4（舍去）
又因?yàn)橹本�4x-3y-16=0過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₂（4，0）．
則左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（-4，0），因?yàn)闄E圓E過(guò)A點(diǎn)，
所以|AF₁|+|AF₂|=2a
所以2a=5

2

+

2

=6

2

，a=3

2

，a2=18，b2=2
故橢圓E的方程為：

x2

18

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）：

AC

=(1，3)，設(shè)Q(x，y)
則

AQ

=(x-3，y-1)
設(shè)x+3y=n，則由

x2 18 + y2 2 =1 x+3y=n

消x得18y²-6ny+n²-18=0
由于直線x+3y=n與橢圓E有公共點(diǎn)，
所以△=（6n）²-4×18×（n²-18）≥0，
所以-6≤n≤6，故

AC

•

AQ

=x+3y-6的取值范圍為[-12，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．此類(lèi)題常涉及解析幾何的所有知識(shí)和函數(shù)、不等式等很多代數(shù)知識(shí)，
當(dāng)然還會(huì)用到平面幾何知識(shí)．故要求學(xué)生對(duì)基本知識(shí)應(yīng)熟練掌握．