在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓和圓.
(1)若直線過點(diǎn),且被圓截得的弦長(zhǎng)為,求直線的方程;
(2)設(shè)為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線和,它們分別與圓和圓相交,且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
(1) 或;(2) .
【解析】
試題分析:(1)涉及到圓的弦長(zhǎng)問題,我們一般利用弦心距,弦的一半,相應(yīng)半徑所構(gòu)成的直角三角形,本題中由弦長(zhǎng)為,半徑為2,可求得弦心距為1,此即為圓心到直線的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式,可求得斜率.利用方程思想求時(shí)要注意直線斜率不存在即直線與軸垂直的情形.否則可能漏.(2)由(1)的分析可知直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等可得圓心到直線的距離與圓心到直線距離相等,所以我們可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,直線的方程分別為,,利用圓心到直線的距離與圓心到直線距離相等列出關(guān)于的方程,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有無窮解問題,從而得解.
試題解析:(1)設(shè)直線的方程為,即
由垂徑定理得圓心到直線的距離
結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式得
所求直線的方程為或,即或
(2)設(shè)點(diǎn),直線的方程分別為
即
由題意可知圓心到直線的距離等于到直線的距離
即,化簡(jiǎn)得,關(guān)于的方程由無窮多解,則有
,故.
考點(diǎn):(1)點(diǎn)到直線距離公式;(2)方程解的個(gè)數(shù)問題.
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