Question

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線．

Answer 1

分析：①舉一例子即可說(shuō)明本命題是真命題；
②舉一反例即可說(shuō)明本命題是假命題；
③假設(shè)直線l過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)，設(shè)直線l為y=kx，把兩整點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程，兩式相減得到兩整點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之差的那個(gè)點(diǎn)也為整點(diǎn)且在直線l上，利用同樣的方法，得到直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，得到本命題為真命題；
④根據(jù)③為真命題，把直線l的解析式y(tǒng)=kx上下平移即不能得到y(tǒng)=kx+b，所以本命題為假命題；
⑤舉一例子即可得到本命題為真命題．

解答：解：①令y=x+

1

2

，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)，所以本命題正確；
②若k=

2

，b=

2

，則直線y=

2

x+

2

經(jīng)過(guò)（-1，0），所以本命題錯(cuò)誤；
設(shè)y=kx為過(guò)原點(diǎn)的直線，若此直線l過(guò)不同的整點(diǎn)（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點(diǎn)代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點(diǎn)，
通過(guò)這種方法得到直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，
又通過(guò)上下平移得到y(tǒng)=kx+b不一定成立．則③正確，④不正確；
⑤令直線y=

2

x恰經(jīng)過(guò)整點(diǎn)（0，0），所以本命題正確．
綜上，命題正確的序號(hào)有：①③⑤．
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用舉反例的方法說(shuō)明一個(gè)命題為假命題，要說(shuō)明一個(gè)命題是真命題必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的說(shuō)理證明，以及考查學(xué)生對(duì)題中新定義的理解能力，是一道中檔題．