Question

已知 f（θ）=a sinθ+b cosθ，θ∈[0，π]，且1與2cos ² 的等差中項(xiàng)大于1與 sin ² 的等比中項(xiàng)的平方．
求：（1）當(dāng)a=4，b=3時(shí)，f（θ） 的最大值及相應(yīng)的 θ 值；
（2）當(dāng)a＞b＞0時(shí)，f（θ） 的值域．

Answer 1

解：由題意＞sin ² ，即cosθ＞1-cosθ，∴cosθ＞，∴2kπ-≤θ≤2kπ+，k∈z，又θ∈[0，π]，∴θ∈[0，]，
（1）當(dāng)a=4，b=3時(shí)，f（θ）=5sin（θ+α），（tanα=），∵＜＜1，
∴，∴
故f（θ） 的最大值為5，此時(shí)有相應(yīng)的有 θ+α=，θ=-α=-arctan
（2）當(dāng)a＞b＞0時(shí)，，故arctan（0，）故θ+α∈（0，），
∴f（θ）=5sin（θ+α）∈（0，5]
f（θ） 的值域是（0，5]
分析：（1）由1與2cos ² 的等差中項(xiàng)大于1與 sin ² 的等比中項(xiàng)的平方．可解出θ∈[0，]，（1）當(dāng)a=4，b=3時(shí)，f（θ））=5sin（θ+α），（tanα=），根據(jù)θ∈[0，]，及α的取值范圍進(jìn)行判斷即可得出f（θ） 的最大值及相應(yīng)的 θ 值；
（2）由（1）f（θ）=5sin（θ+α），當(dāng)a＞b＞0時(shí)，arctan（0，）判斷出θ+α∈（0，），解出f（θ） 的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合以及三角函數(shù)的最值，求解本題的關(guān)鍵是判斷出角θ的范圍及對(duì)f（θ）化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷出最值及值域．