【題目】已知點(diǎn)P是拋物線C:上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PH⊥x軸，點(diǎn)H為垂足.點(diǎn)M是直線PH上一點(diǎn)，且在拋物線的內(nèi)部，直線l過點(diǎn)M交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn).

（1）證明：直線l平行于拋物線C在點(diǎn)P處切線；

（2）若|PM|=, 當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PAB的面積如何變化？

【答案】（1）見解析；（2）的面積為定值.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，則，易知，從而得，利用求導(dǎo)可以得切線斜率，從而得證；

（2）由，得，從而可得直線，與拋物線聯(lián)立得，再由，利用韋達(dá)定理求解即可.

（1）證明：設(shè)點(diǎn)，

則，，

由，得，

故，即拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為．

又直線的斜率，即，

所以直線平行于拋物線在點(diǎn)處的切線．

（2）解：由，得，

于是直線，即．

聯(lián)立直線與拋物線得消去y得，

∴，

∴，

故的面積為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B以及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD內(nèi)(含邊界)，且與A，B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km．

(I)設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；

(II)確定污水處理廠的位置，使三條排污管道的總長(zhǎng)度最短，并求出最短值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2＋clnx，且g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為2y－1＝0.

(1)求g(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)G(x)＝若方程G(x)＝a2有且僅有四個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若角是第一象限角，問角（1），（2），（3）各是第幾象限角？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線與圓：交于兩點(diǎn)．

（1）求線段的垂直平分線的方程；

（2）若，求的值；

（3）在（2）的條件下，求過點(diǎn)的圓的切線方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，梯形中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，將四邊形沿直線進(jìn)行翻折，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②③平面平面；④平面平面，則上述結(jié)論可能正確的是( ).

A.①③B.②③C.②④D.③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù),則下列判斷正確的是（ ）

A.為奇函數(shù)

B.對(duì)任意,,則有

C.對(duì)任意,則有

D.若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解某班學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)是否與性別有關(guān)，對(duì)本班人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表，已知在全部人中隨機(jī)抽取人抽到喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生的概率為.

喜歡數(shù)學(xué)

不喜歡數(shù)學(xué)

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整（不用寫計(jì)算過程）；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；

（3）現(xiàn)從女生中抽取人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜歡數(shù)學(xué)的女生人數(shù)為，求的分布列與期望.

下面的臨界表供參考：

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某單位為了響應(yīng)疫情期間有序復(fù)工復(fù)產(chǎn)的號(hào)召，組織從疫區(qū)回來(lái)的甲、乙、丙、丁4名員工進(jìn)行核酸檢測(cè)，現(xiàn)采用抽簽法決定檢測(cè)順序，在“員工甲不是第一個(gè)檢測(cè)，員工乙不是最后一個(gè)檢測(cè)”的條件下，員工丙第一個(gè)檢測(cè)的概率為（ ）

A.B.C.D.

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