Question

12．已知動點P（x，y）與兩定點M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）當(dāng)軌跡C為焦點在y軸上的橢圓時，求λ的范圍．

Answer 1

分析 （1）直接由題設(shè)可得k_PM•k_PN=$\frac{y}{x+1}$•$\frac{y}{x-1}$=λ，整理得答案；
（2）由x²-$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1（λ≠0，x≠±1）表示焦點在y軸上的橢圓直接求出λ值．

解答 解：（1）由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，
∴k_PM•k_PN=$\frac{y}{x+1}$•$\frac{y}{x-1}$=λ，
整理得x²-$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1（λ≠0，x≠±1）；
（2）要使x²-$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1（λ≠0，x≠±1）表示焦點在y軸上的橢圓，
則λ＜-1．
∴當(dāng)λ＜-1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．