由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.
對(duì)于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cocs.
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.
一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多項(xiàng)式.
(1)請(qǐng)嘗試求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x.
(2)化簡(jiǎn)cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ,并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值.
(1)由于cos4x=cos(2x+2x)=cos22x-sin22x
=(2cos2x-1)2-(2sinxcosx)2
=4cos4x-4cos2x+1-4sin2cos2x
=4cos4x-4cos2x+1-4(1-cos2x)cos2x
=8cos4x-8cos2x+1(3分)
(2)cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ=(
1
2
cosθ+
3
2
sinθ)(
1
2
cosθ-
3
2
sinθ)cosθ

=(
1
4
cos2θ-
3
4
sin2θ)cosθ
=
1
4
(4cos2θ-3)cosθ
=
1
4
cos3θ
(7分)
∵sin20°sin40°sin60°sin80°=cos70°cos50°cos30°cos10°
=
3
2
cos10°cos(60°-10°)cos(60°+10°)
=
3
2
×
1
4
cos30°
=
3
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練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對(duì)于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
(I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)請(qǐng)求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
(III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.
對(duì)于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cocs.
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.
一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多項(xiàng)式.
(1)請(qǐng)嘗試求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x.
(2)化簡(jiǎn)cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ,并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對(duì)于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
(I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)請(qǐng)求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
(III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對(duì)于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
(I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)請(qǐng)求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
(III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年遼寧省大連市協(xié)作體高一(下)4月月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對(duì)于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
(I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)請(qǐng)求出P4(t),即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
(III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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