由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
(I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)請求出P4(t),即用一個cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
(III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

解:(I)證明:∵
=-(4sin3x-3sinx)=3sinx-4sin3x,故等式成立.
(II)cos4x=cos(2•2x)=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=2(4cos4x-4cos2x+1)-1
=8cos4x-8cos2x+1.
(III)∵sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°,
∴4sin218°+2sin18°-1=0,∴
分析:(I)利用誘導(dǎo)公式可得sin3x=-cos(-3x)=-cos[3(-3x)],把已知的條件代入可證得結(jié)論成立.
(II)兩次使用二倍角公式,即可求得結(jié)果.
(III)利用 sin36°=cos54°,可得 2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°,解方程求出2sin18°的值.
點(diǎn)評:本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,正確選擇公式是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
(I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)請求出P4(t),即用一個cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
(III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.
對于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cocs.
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.
一般地,存在一個n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多項(xiàng)式.
(1)請嘗試求出P4(t),即用一個cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x.
(2)化簡cos(60°-θ)cos(60°+θ)cosθ,并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
(I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)請求出P4(t),即用一個cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
(III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年遼寧省大連市協(xié)作體高一(下)4月月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對于cos3x,我們有
cos3x=cos(2x+x)
=cos2xcosx-sin2xsinx
=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx
=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式.一般地,存在一個n次多項(xiàng)式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
(I)求證:sin3x=3sinx-4sin3x;
(II)請求出P4(t),即用一個cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x;
(III)利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值.

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