Question

已知橢圓

x2

4

+y2=1中心為O，右頂點為M，過定點D（t，0）（t≠±2）作直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若直線l與x軸垂直，求三角形OAB面積的最大值；
（2）若t=

6

5

，直線l的斜率為1，求證：∠AMB=90°；
（3）直線AM和BM的斜率的乘積是否為非零常數(shù)？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把x=t代入

x2

4

+y2=1可得：y=±

1

2

4-t2

從而得出面積的函數(shù)表達(dá)式，最后利用基本不等式求其最大值即可；
（2）聯(lián)立

y=x- 6 5 x2 4 +y2=1

得125x²-240x+44=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
（3）先分類討論：①當(dāng)直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線方程為：y=k（x-t），由

y=k(x-t) x2 4 +y2=1

消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
②當(dāng)直線l與x軸垂直時，利用同樣的方法求解即可．

解答：解：設(shè)直線l與橢圓的交點坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）把x=t代入

x2

4

+y2=1可得：y=±

1

2

4-t2

，（2分）
則S△OAB=|OD|•|AD|=

1

2

•|t|•

4-t2

≤1，當(dāng)且僅當(dāng)t=±

2

時取等號（4分）
（2）由

y=x- 6 5 x2 4 +y2=1

得125x²-240x+44=0，x1x2=

44

125

，x1+x2=

48

25

（6分）
所以kAMkBM=

y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

(x1- 6 5 )(x2- 6 5 )

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2- 6 5 (x1+x2)+ 36 25

x1x2-2(x1+x2)+4

=

44 125 - 6 5 • 48 25 + 36 25

44 125 -2• 48 5 +4

=

-64

64

=-1?∠AMB=90°（9分）
（3）直線AM和BM的斜率的乘積是一個非零常數(shù)．（11分）
當(dāng)直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線方程為：y=k（x-t），
由

y=k(x-t) x2 4 +y2=1

消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
則

△＞0 x1+x2= 8k2t 4k2+1 x1x2= 4k2t2-4 4k2+1

①又

y1=k(x1-t) y2=k(x2-t)

②（13分）
所以kAMkBM=

y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

k2(x1x2-t(x1+x2)+t2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

t+2

4(t-2)

(常數(shù))（15分）
當(dāng)直線l與x軸垂直時，由

x=t x2 4 +y2=1

得兩交點A(t，

1

2

4-t2

)，B(t，-

1

2

4-t2

)，
顯然kAMkBM=

t+2

4(t-2)

．
所以直線AM和BM的斜率的乘積是一個非零常數(shù)．（16分）

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運用．