已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時(shí)滿足:(1)不等式f(x)≤0 的解集有且只有一個(gè)元素;(2)在定義域內(nèi)存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立。設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n), (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和; (3)設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{cn}中,所有滿足cici+1<0的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)。另(n為正整數(shù)),求數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)。 |
解:(1)∵不等式f(x)≤0 的解集有且只有一個(gè)元素, ∴, ∵在定義域內(nèi),使得不等式成立, ∴函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是遞減函數(shù), 當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上遞增, 故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立, 當(dāng)a=4時(shí),函數(shù)f(x)=x2-4x+4在(0,2)上遞減, 故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立; 綜上,得, 當(dāng)n=1時(shí),; 當(dāng)n≥2時(shí),; ∴; (2)∵, ① ∴, ② ①-②得: , ∴; (3)由題設(shè), ∵n≥3時(shí),, ∴n≥3時(shí),數(shù)列{cn}遞增, ∵,由,可知, 即n≥3時(shí),有且只有1個(gè)變號(hào)數(shù), 又∵,即, ∴此處變號(hào)數(shù)有2個(gè), 數(shù)列{cn}共有3個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為3。 |
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f(x) | x-1 |
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