已知點(diǎn)M,N分別在直線y=mx和y=-mx(m>0)上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn),且|MN|=2,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是曲線C.
(1)求曲線C的方程,并討論方程所表示的曲線類(lèi)型;
(2)設(shè)m=
2
2
時(shí),過(guò)點(diǎn)A(-
2
6
3
,0)的直線l與曲線C恰有一個(gè)公共點(diǎn),求直線l的斜率.
分析:(1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn),且|MN|=2,可得曲線C的方程;對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論,即可得到所表示的曲線;
(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用過(guò)點(diǎn)A(-
2
6
3
,0)的直線l與曲線C恰有一個(gè)公共點(diǎn),可得判別式等于0,結(jié)論方程,即可求得直線l的斜率.
解答:解:(1)設(shè)P(x,y),M(x1,mx1),N(x2,-mx2),
依題意得
x1+x2=2x
mx1-mx2=2y
(x1-x2)2+(mx1+mx2)2=22

消去x1,x2,整理得
x2
1
m2
+
y2
m2
=1
,
當(dāng)m>1時(shí),方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,
當(dāng)0<m<1時(shí),方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,
當(dāng)m=1時(shí),方程表示圓.
(2)當(dāng)m=
2
2
時(shí),方程為
x2
2
+
y2
1
2
=1

設(shè)直線l的方程為y=k(x+
2
6
3
),與橢圓方程聯(lián)立
x2
2
+
y2
1
2
=1
y=k(x+
2
6
3
)

消去y得(1+4k2)x2+
16
6
3
k2x+
32k2
3
-2=0,
根據(jù)已知可得△=0,
故有(
16
6
3
k22-4(1+4k2)(
32k2
3
-2)=0,k2=
3
4

∴直線l的斜率為k=±
3
2
點(diǎn)評(píng):本題考查軌跡方程的求解,考查曲線與方程之間的聯(lián)系,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是以∠C為直角的等腰直角三角形,AC=BC=CC1=2,M、N分別在棱CC1、A1B1上,N是A1B1的中點(diǎn).

(1)若M是CC1的中點(diǎn),求異面直線AN與BM所成的角;

(2)若點(diǎn)C關(guān)于平面ABM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在平面ABB1A1上,試確定M點(diǎn)在CC1上的位置.

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