【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形且，側(cè)面底面，且側(cè)面是正三角形，是中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由側(cè)面是正三角形，可知，進(jìn)而可知底面，從而可得，再結(jié)合底面為矩形且，可得，從而可知，即，即可證明平面；

（2）過作的平行線，顯然兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，易知為鈍角，可得，求解即可.

（1）證明：因?yàn)閭?cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，所以.

因?yàn)榈酌?/span>為矩形且，所以.

所以，則.

所以，即.

又因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）過作的平行線，顯然兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則點(diǎn)，，，，

所以，，.

設(shè)平面的法向量為.

由，得，

令，得平面的法向量為；

同理，設(shè)平面的法向量為.

由得，

令，得平面的法向量為.

設(shè)二面角的大小為，易知為鈍角，則.

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，mR.

（1）若m＝﹣1，求函數(shù)在區(qū)間[,e]上的最小值；

（2）若m＞0，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為 ．

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的任一直線（不經(jīng)過點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)，，設(shè)直線與相交于點(diǎn)，記的斜率分別為，問：是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年，國(guó)家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生（其中男生550人，女姓450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

（1）己知抽取的名學(xué)生中含男生55人，求的值；

（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

選擇“物理”

選擇“地理”

總計(jì)

男生

10

女生

25

總計(jì)

附：，.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求的面積.

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【題目】國(guó)際奧委會(huì)將于2017年9月15日在秘魯利馬召開130次會(huì)議決定2024年第33屆奧運(yùn)會(huì)舉辦地，目前德國(guó)漢堡，美國(guó)波士頓等申辦城市因市民擔(dān)心賽事費(fèi)用超支而相繼退出，某機(jī)構(gòu)為調(diào)查我國(guó)公民對(duì)申辦奧運(yùn)會(huì)的態(tài)度，選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

支持

不支持

合計(jì)

年齡不大于50歲

80

年齡大于50歲

10

合計(jì)

70

100

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運(yùn)有關(guān)？

（3）已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有6名女性，其中2名是女教師．現(xiàn)從這6名女性中隨機(jī)抽取2名，求恰有1名女教師的概率．

附：，，

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）探究：是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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