已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為,且過點P(4,-).

(1)求雙曲線的方程.

(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.

(3)求△F1MF2的面積.

 

(1) x2-y2=6 (2)見解析 (3)6

【解析】(1)∵e=,

∴可設雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0).

∵過點P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.

∴雙曲線方程為x2-y2=6.

(2)方法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=,

∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).

∴=,=,

·==-.

∵點M(3,m)在雙曲線上,

∴9-m2=6,m2=3.

故·=-1,∴MF1⊥MF2.

∴·=0.

方法二:∵=(-3-2,-m),

=(2-3,-m),

∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.

∵M(3,m)在雙曲線上,

∴9-m2=6,即m2-3=0.

∴·=0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,

△F1MF2的邊F1F2上的高h=|m|=,

∴=6.

 

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(A) (B) (C) (D)

 

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(1)求證:F<0.

(2)若四邊形ABCD的面積為8,對角線AC的長為2,且·=0,求D2+E2-4F的值.

(3)設四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G,OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判斷點O,G,H是否共線,并說明理由.

 

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(1)求橢圓C的方程和其“準圓”的方程.

(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過動點P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點,且l1,l2分別交其“準圓”于點M,N.

①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時,求l1,l2的方程;

②求證:|MN|為定值.

 

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