如圖,橢圓C:+=1的焦點(diǎn)在x軸上,左右頂點(diǎn)分別為A1,A,上頂點(diǎn)為B,拋物線C1,C2分別以A,B為焦點(diǎn),其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O,C1與C2相交于直線y=x上一點(diǎn)P.

(1)求橢圓C及拋物線C1,C2的方程.

(2)若動(dòng)直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N,已知點(diǎn)Q(-,0),求·的最小值.

 

(1) 橢圓C:+=1 C1:y2=16x C2:x2=4y (2)

【解析】(1)由題意A(a,0),B(0,),設(shè)拋物線C1的方程為y2=4ax,拋物線C2的方程為x2=4y,由P(8,8),∴橢圓C:+=1.

拋物線C1:y2=16x,

拋物線C2:x2=4y.

(2)由(1)得直線OP的斜率為,

∴直線l的斜率k=-,

設(shè)直線l:y=-x+b,

由消去y,得

5x2-8bx+8b2-16=0.

∵動(dòng)直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn),

∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0.

∴-<b<.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

∴x1+x2=,x1x2=.

y1y2=(-x1+b)(-x2+b)

=x1x2-(x1+x2)+b2=.

∵=(x1+,y1),=(x2+,y2),

∴·=(x1+)(x2+)+y1y2

=x1x2+(x1+x2)+2+y1y2

=,

∵-<b<,

∴當(dāng)b=-時(shí),·取得最小值,其最小值為

×(-)2+×(-)-=-.

 

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給出以下三個(gè)命題:

①將一枚硬幣拋擲兩次,記事件A:兩次都出現(xiàn)正面,事件B:兩次都出現(xiàn)反面,則事件A與事件B是對(duì)立事件;②在命題①中,事件A與事件B是互斥事件;③在10件產(chǎn)品中有3件是次品,從中任取3件,記事件A:所取3件中最多有2件是次品,事件B:所取3件中至少有2件是次品,則事件A與事件B是互斥事件.其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

 

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已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=2,求a2+2b2+c2的最小值.

 

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已知橢圓C:+=1(a>b>0).

(1)若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)在(1)的條件下,設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.

(3)過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點(diǎn),設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時(shí)a,b滿足的條件.

 

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如圖,已知點(diǎn)B是橢圓+=1(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點(diǎn),過B作斜率為1的直線交橢圓于點(diǎn)M,點(diǎn)P在y軸上,且PM∥x軸,·=9,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,t),則t的取值范圍是(　　)

(A)0<t<3 (B)0<t≤3

(C)0<t< (D)0<t≤

 

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以拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為_________.

 

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設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　)

(A)4 (B)6 (C)8 (D)12

 

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(1)求雙曲線的方程.

(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.

(3)求△F1MF2的面積.

 

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