Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l：x+my=

3

恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，已知△F₁PQ的周長(zhǎng)為8，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+t與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，以線段OM，ON為鄰邊作平行四邊形OMGN
其中G在橢圓C上，當(dāng)

1

2

≤|t|≤1時(shí)，求|OG|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由直線l：x+my=

3

恒過(guò)定點(diǎn)(

3

，0)，可得c=

3

．由△F₁PQ的周長(zhǎng)為8，可得4a=8，再利用b²=a²-c²，即可得出橢圓的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，由△＞0，可得4k²+1＞t²．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀），利用根與系數(shù)的關(guān)系及其向量平行四邊形法則可得x0=x1+x2=

-8kt

1+4k2

，y₀=y₁+y₂=

2t

1+4k2

，可得G(

-8kt

1+4k2

，

2t

1+4k2

)，由于G在橢圓C上，代入橢圓方程可得4t²=4k²+1，可得|OG|²=

x

2 0

+

y

2 0

=4-

3

4t2

，利用

1

2

≤|t|≤1，即可得出．

解答： 解：（1）∵直線l：x+my=

3

恒過(guò)定點(diǎn)(

3

，0)，
∴橢圓的右焦點(diǎn)F₂(

3

，0)．∴c=

3

．
∴△F₁PQ的周長(zhǎng)為8，∴4a=8，解得a=2，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）聯(lián)立

y=kx+t x2 4 +y2=1

，化為（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
由△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）＞0，可得4k²+1＞t²．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀），則x1+x2=-

8kt

1+4k2

，
∵四邊形OMGN是平行四邊形，∴x0=x1+x2=

-8kt

1+4k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t=kx₀+2t=

2t

1+4k2

，
可得G(

-8kt

1+4k2

，

2t

1+4k2

)，
∵G在橢圓C上，∴

( -8kt 1+4k2 )2

4

+(

2t

1+4k2

)2=1，化為4t²（4k²+1）=（4k²+1）²，
∴4t²=4k²+1，
∴|OG|²=

x

2 0

+

y

2 0

=(

-8kt

1+4k2

)2+(

2t

1+4k2

)2=

4t2(16k2+1)

(4k2+1)2

=

16t2-3

4t2

=4-

3

4t2

，
∵

1

2

≤|t|≤1，∴

1

4

≤t2≤1，
∴(4-

3

4t2

)∈[1，

13

4

]，
∴|OG|的取值范圍是[1，

13

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的平行四邊形法則、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．