【題目】如圖，直線平面，直線平行四邊形，四棱錐的頂點在平面上，，，，，分別是與的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接，由題意可證得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)定理可得平面；

（2）過作，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面的法向量為，平面的法向量為，據(jù)此計算可得二面角的平面角的余弦.

（1）連接，底面為平行四邊形，

是的中點，是的中點， ，

是的中點，是的中點， ，

，，平面平面，

平面， 平面；

（2）由平面，平行四邊形，

平面底面，， ，

四邊形為矩形，且底面，，過作，

以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

由，，，知，

、 、、、、，

、、，

設(shè)平面的法向量為 ，

則,

取，，，即，

設(shè)平面的法向量為

則,

取，，，即，

二面角的平面角的余弦 .

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)為調(diào)查新生嬰兒健康狀況，隨機(jī)抽取6名8個月齡嬰兒稱量體重（單位：千克），稱量結(jié)果分別為6，8，9，9，9.5，10.已知8個月齡嬰兒體重超過7.2千克，不超過9.8千克為“標(biāo)準(zhǔn)體重”，否則為“不標(biāo)準(zhǔn)體重”.

(1)根據(jù)樣本估計總體思想，將頻率視為概率，若從該地區(qū)全部8個月齡嬰兒中任取3名進(jìn)行稱重，則至少有2名嬰兒為“標(biāo)準(zhǔn)體重”的概率是多少？

(2)從抽取的6名嬰兒中，隨機(jī)選取4名，設(shè)X表示抽到的“標(biāo)準(zhǔn)體重”人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，三條直線型公路，，在點處交匯，其中與、與的夾角都為，在公路上取一點，且km，過鋪設(shè)一直線型的管道，其中點在上，點在上（，足夠長），設(shè)km，km．

（1）求出，的關(guān)系式；

（2）試確定，的位置，使得公路段與段的長度之和最小．

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【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的圖像為直線．

（Ⅰ）當(dāng)時，若函數(shù)的圖像永遠(yuǎn)在直線下方，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，若直線與函數(shù)的圖像的有兩個不同的交點，線段的中點為 ，求證：．

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【題目】已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：的焦點，與拋物線相交于、兩點，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）過點的兩條直線、分別交拋物線于點、和、，線段和的中點分別為、.如果直線與的傾斜角互余，求證：直線經(jīng)過一定點.

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【題目】某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊擬生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資額成正比（如圖1），產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注: 利潤與投資額的單位均為萬元)

（注：利潤與投資額的單位均為萬元）

(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤、表示為投資額的函數(shù)；

(2)該團(tuán)隊已籌集到10 萬元資金，并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問:當(dāng)產(chǎn)品的投資額為多少萬元時，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤，最大利潤為多少?

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【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，方程有兩個相異實根，且，證明：.

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【題目】2017年，在青島海水稻研究發(fā)展宗鑫的試驗基地，我國奇數(shù)團(tuán)隊培養(yǎng)處的最新一批海水稻活動豐收，由原畝產(chǎn)300公斤，條到最高620公斤，弦長測得其海水鹽分濃度月為。

（1）對四種品種水稻隨機(jī)抽取部分?jǐn)?shù)據(jù)，獲得如下頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，說明這四種品種水稻中，哪一種平均產(chǎn)量最高，哪一種穩(wěn)定（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）對鹽堿度與抗病害的情況差得如右圖和的列聯(lián)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)，填寫列表，并以此說明是否有的把握說明鹽堿度對抗病蟲害有影響。

附表及公式：

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【題目】某船在海面處測得燈塔在北偏東方向，與相距海里，測得燈塔在北偏西方向，與相距海里，船由向正北方向航行到處，測得燈塔在南偏西方向，這時燈塔與相距多少海里？在的什么方向？

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