Question

平面上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于它到直線(xiàn)x=-1的距離．記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（1，1）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用已知條件轉(zhuǎn)化為拋物線(xiàn)方程求解即可．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過(guò)x₁=x₂，判斷點(diǎn)M不為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，利用點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，得到y(tǒng)₁²=4x₁，y₂²=4x₂，兩式相減求出直線(xiàn)l的斜率為2，得到直線(xiàn)方程．

解答： 解：（1）由條件可知：點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線(xiàn)x=-1距離相等
∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，設(shè)其方程為：y²=2px（p＞0），
則

p

2

=1，∴p=2．
∴曲線(xiàn)C的方程為y²=4x                   …（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若x₁=x₂，即直線(xiàn)l垂直于x軸，此時(shí)點(diǎn)M不為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
所以x₁≠x₂，…（7分）
∵點(diǎn)M（1，1）為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴

x1+2

2

=1，

y1+y2

2

=1
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2                   …（8分）
又∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在拋物線(xiàn)上，
∴y₁²=4x₁，…①
y₂²=4x₂，…②…（9分）
兩式相減得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
又x₁≠x₂，∴

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2     …（11分）
即直線(xiàn)l的斜率為2，
∴直線(xiàn)l的方程為y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．注意仔細(xì)的斜率是否存在是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．