Question

【題目】市實施全域旅游，將鄉(xiāng)村旅游公路建設(shè)與特色田園鄉(xiāng)村發(fā)展結(jié)合，精心打造全長365公里的“1號公路”，對內(nèi)串聯(lián)區(qū)域內(nèi)主要景區(qū)景點和自然村，對外通達周邊縣（市），以路引景、為景串線，形成一個“大環(huán)小圈、內(nèi)連外引”的路網(wǎng)體系.如今的“1號公路”，不僅成為該市旅游業(yè)的“顏值擔(dān)當(dāng)”，更成為推動鄉(xiāng)村振興的“實力擔(dān)當(dāng)”，農(nóng)村居住環(huán)境日益改善，新農(nóng)村別墅隨處可見.圖①是一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成.如圖②，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形.點在平面和上的射影分別為（即：平面，垂足為；，垂足為）.已知，梯形的面積是面積的2.2倍..

（1）當(dāng)時，求屋頂面積的大小；

（2）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（3）已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為（為正的常數(shù)），下部主體造價與其高度成正比，比例系數(shù)為.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為的別墅，試問：當(dāng)為何值時，總造價最低？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）首先根據(jù)已知得到，根據(jù)得到，再計算屋頂面積即可.

（2）首先利用表示出，從而得到的面積為，再由已知條件即可得到屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

（3）首先根據(jù)題意得到：別墅總造價為，再利用換元法和三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到最小值.

（1）由題意平面.

又因為平面，得.

在中，，

所以.

因此的面積為.

則屋頂面積

（2）在中，，

所以.

因此的面積為.

從而屋頂面積.

所以屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

（3）在中，，所以主體高度為.

所以別墅總造價為

.

令，則.

設(shè)，由三角函數(shù)定義可知點是單位圓上一個動點，

可知為經(jīng)過點與點的直線的斜率.

直線的方程為，即.

因為直線與單位圓相切或相交，

所以單位圓圓心到直線的距離，

所以，解得或.

因為，所以，所以.

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時取“”

此時，即.

因為，因為.

即時有最小值.

答：當(dāng)時，總造價最低.