【題目】已知是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且,若任意的,當(dāng)時(shí),總有.
(1)判斷函數(shù)在[-1,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)解不等式:;
(3)若對(duì)所有的恒成立,其中(是常數(shù)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).(3)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)任取x1、x2兩數(shù)使x1、x2∈[-1,1],且x1<x2,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推知f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2),讓f(x1)+f(-x2)除以x1-x2再乘以x1-x2配出的形式,然后進(jìn)而判定。
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)知x滿足的不等式組,進(jìn)而可解得x的范圍
(3)由(1)知最大值為,所以要使對(duì)所有的恒成立,只需成立,即成立.對(duì)p討論得到。
(1)在上是增函數(shù),證明如下:
任取,且,則,于是有,
而,故,故在上是增函數(shù)
(2)由在上是增函數(shù)知:
,
故不等式的解集為.
(3)由(1)知最大值為,所以要使對(duì)所有的恒成立,
只需成立,即成立.
① 當(dāng)時(shí),的取值范圍為;
②當(dāng)時(shí),的取值范圍為;
③當(dāng)時(shí),的取值范圍為R.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x﹣y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為 .
(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 ,判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2 , a∈R. (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間 上有單調(diào)遞增區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)證明不等式: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù) 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 ,縱坐標(biāo)不變,再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸是
B.函數(shù)g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是
C.函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸是
D.函數(shù)g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線kx+y﹣1=0上,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x2)≥( ﹣1)x2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過(guò)橢圓 右焦點(diǎn)的直線 交橢圓C于M,N兩點(diǎn),P為M,N的中點(diǎn),且直線OP的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)另一直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),原點(diǎn)O到直線l的距離為 ,求△AOB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足:a1=a,rSn=anan+1﹣1,其中a≠1,常數(shù)r∈N;
(1)求證:an+2﹣an是一個(gè)定值;
(2)若數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù)T,使得對(duì)任意n∈N* , 都有an+T=an成立,則稱(chēng){an}為周期數(shù)列,T為它的一個(gè)周期,求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,cn=23n﹣1(n∈N*),問(wèn):數(shù)列{cn}中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?若是,請(qǐng)說(shuō)明理由,若不是,請(qǐng)舉出反例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向,距處海里的處有一艘走私船.在處北偏西方向,距處海里的處的我方緝私船奉命以海里小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以海里小時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.問(wèn):緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.
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