Question

【題目】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中的公差不為0.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，是數(shù)列的前3項(xiàng)，且.

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在常數(shù)，使得為等差數(shù)列？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1); ; (2) 或

【解析】

（1）由，，是等比數(shù)列的前3項(xiàng)利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出、d的關(guān)系式，代入即可求出、d，從而求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令先求出的表達(dá)式，若數(shù)列為等差數(shù)列推出為常數(shù)，則，列出方程求t，代入原式驗(yàn)證即可.

（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，通項(xiàng)公式為，

因?yàn)?/span>，，是等比數(shù)列的前3項(xiàng)，所以，

即，整理得，

又，所以，

，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以.

（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和，

則，令，

若數(shù)列為等差數(shù)列，則為常數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

整理得，解得或，(舍去)

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)或時(shí)均為常數(shù)，

綜上所述，或時(shí)為等差數(shù)列.