【題目】已知拋物線,直線()與交于兩點,為的中點,為坐標(biāo)原點.
(1)求直線斜率的最大值;
(2)若點在直線上,且為等邊三角形,求點的坐標(biāo).
【答案】(1);(2).
【解析】
解法一:(1)設(shè)兩點坐標(biāo),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式、中點坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo),最后根據(jù)斜率公式,結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可;
(2)利用弦長公式求出等邊三角形的邊長,最后利用等邊三角形的性質(zhì),得到方程,求解方程即可求出點的坐標(biāo).
解法二:(1)設(shè)出兩點的坐標(biāo),根據(jù)點在拋物線上,得到兩個方程,再利用兩點在直線上、中點坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo),最后根據(jù)斜率公式,結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可;
(2)將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式、兩點間距離公式求出等邊三角形的邊長,最后利用等邊三角形的性質(zhì),得到方程,求解方程即可求出點的坐標(biāo).
解法一:(1)設(shè),
由,消去得,,
且.
所以
因為為的中點,
所以的坐標(biāo)為,即,
又因為,所以,
(當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立.)
所以的斜率的最大值為;
(2)由(1)知,
,
由得,
因為為等邊三角形,所以,
所以,
所以,所以,解得
又,所以,
則,直線的方程為,即,
所以時,,
所以所求的點的坐標(biāo)為.
解法二:(1)設(shè),
因為為的中點,且直線,
所以因為,,兩個等式相減得:
由得
所以所以即.
所以即,
又因為,所以,
(當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立.)
所以的斜率的最大值為.
(2)由,消去得,
所以且.
,
由(1)知,的中點的坐標(biāo)為,
所以線段的垂直平分線方程為:.
令,得線段的垂直平分線與直線交點坐標(biāo)為
所以.
因為為等邊三角形,所以,
所以,
所以,所以,解得
因為所以,
則,直線的方程為,即,
所以時,,
所以所求的點的坐標(biāo)為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年新年伊始,新型冠狀病毒來勢洶洶,疫情使得各地學(xué)生在寒假結(jié)束之后無法返校,教育部就此提出了線上教學(xué)和遠(yuǎn)程教學(xué),停課不停學(xué)的要求也得到了家長們的贊同.各地學(xué)校開展各式各樣的線上教學(xué),某地學(xué)校為了加強學(xué)生愛國教育,擬開設(shè)國學(xué)課,為了了解學(xué)生喜歡國學(xué)是否與性別有關(guān),該學(xué)校對100名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡國學(xué) | 不喜歡國學(xué) | 合計 | |
男生 | 20 | 50 | |
女生 | 10 | ||
合計 | 100 |
(1)請將上述列聯(lián)表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡國學(xué)與性別有關(guān)系?
(2)針對問卷調(diào)查的100名學(xué)生,學(xué)校決定從喜歡國學(xué)的人中按分層抽樣的方法隨機抽取6人成立國學(xué)宣傳組,并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長,求選出的兩人均為女生的概率.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,圓經(jīng)過橢圓C的左、右焦點,.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若A,B,D,E是橢圓C上不同四點(其中點D在第一象限),且,直線,關(guān)于直線對稱,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過橢圓的左頂點作斜率為2的直線,與橢圓的另一個交點為,與軸的交點為,已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點,且與直線相交于點,若軸上存在一定點,使得,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,,若,的方向是沿方向繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到的,則稱經(jīng)過一次變換得到.已知向量經(jīng)過一次變換后得到,經(jīng)過一次變換后得到,…,如此下去,經(jīng)過一次變換后得到,設(shè),則__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面,四邊形是菱形, , ,且, 交于點, 是上任意一點.
(1)求證: ;
(2)已知二面角的余弦值為,若為的中點,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左頂點為,右頂點為,已知橢圓的離心率為,且以線段為直徑的圓被直線所截的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)記橢圓的右焦點為,過點且斜率為的直線交橢圓于兩點.若線段的垂直平分線與軸交于點,求的取值范圍.
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