【題目】設(shè)函數(shù),,其中,為正實數(shù).
(1)若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),證明:對任意,都有.
【答案】(1) (2)證明見解析
【解析】
(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求出滿足不等式的的取值范圍;(2)不等式整理為,由(1)可知當(dāng)時,,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而證明在區(qū)間上成立,從而證明對任意,都有.
(1)解:因為函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方,
所以在區(qū)間上恒成立.
設(shè),其中,
所以,其中,.
①當(dāng),即時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,,
故成立,滿足題意.
②當(dāng),即時,設(shè),
則圖象的對稱軸,,,
所以在上存在唯一實根,設(shè)為,則,,,
所以在上單調(diào)遞減,此時,不合題意.
綜上可得,實數(shù)的取值范圍是.
(2)證明:由題意得,
因為當(dāng)時,,,
所以.
令,則,
所以在上單調(diào)遞增,,即,
所以,從而.
由(1)知當(dāng)時,在上恒成立,整理得.
令,則要證,只需證.
因為,所以在上單調(diào)遞增,
所以,即在上恒成立.
綜上可得,對任意,都有成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.
(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;
(Ⅱ)若二面角CBFD的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“初中數(shù)學(xué)靠練,高中數(shù)學(xué)靠悟”.總結(jié)反思自己已經(jīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一部分,為了了解總結(jié)反思對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響,某校隨機抽取200名學(xué)生,抽到不善于總結(jié)反思的學(xué)生概率是0.6.
(1)完成列聯(lián)表(應(yīng)適當(dāng)寫出計算過程);
(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與善于總結(jié)反思有關(guān).
統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
不善于總結(jié)反思 | 善于總結(jié)反思 | 合計 | |
學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀 | 40 | ||
學(xué)習(xí)成績一般 | 20 | ||
合計 | 200 |
參考公式:其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況,從該校上一屆高三(1)班到高三(5)班隨機抽取50人,得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù),并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖,估計本屆高三學(xué)生本科上線率.
(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬,假設(shè)以(1)中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.
(i)若從甲市隨機抽取10名高三學(xué)生,求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01);
(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬,假設(shè)該市每個考生本科上線率均為,若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,求p的取值范圍.
可能用到的參考數(shù)據(jù):取,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線是由兩個定點和點的距離之積等于的所有點組成的,對于曲線,有下列四個結(jié)論:①曲線是軸對稱圖形;②曲線上所有的點都在單位圓內(nèi);③曲線是中心對稱圖形;④曲線上所有點的縱坐標(biāo).其中,所有正確結(jié)論的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足:.且是,的等差中項.又?jǐn)?shù)列滿足:,,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,且數(shù)列為等比數(shù)列,求的值;
(3)若,且為數(shù)列的最小項,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì),狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)” 其中R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集.則關(guān)于函數(shù)有如下四個命題,正確的為( )
A.函數(shù)是偶函數(shù)
B.,,恒成立
C.任取一個不為零的有理數(shù)T,對任意的恒成立
D.不存在三個點,,,使得為等腰直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于正整數(shù),如果個整數(shù)滿足,
且,則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.
(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;
(Ⅱ)對于給定的整數(shù),設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”,且,求的最大值;
(Ⅲ)對所有的正整數(shù),證明:;并求出使得等號成立的的值.
(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與,當(dāng)且僅當(dāng)且時,稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)時,若恰有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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