Question

直角坐標(biāo)系下，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)E（8，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足

MO

•

ME

=x²，
（1）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)F（2，0）作互相垂直的直線l₁，l₂分別交軌跡C于點(diǎn)M，N和點(diǎn)R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值；
（3）定點(diǎn)P（2，4），動(dòng)點(diǎn)A，B是軌跡C上的三個(gè)點(diǎn)，且滿足K_PA•K_PB=8試問(wèn)AB所在的直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x²，由此能導(dǎo)出點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）由題設(shè)條件知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，設(shè)MN的方程為y=k（x-2），與y²=8x聯(lián)立，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由拋物線定義知：|MN|=x1+x2+4=

8(k2+1)

k2

，RQ的方程為y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，由此能求出四邊形MRNQ面積的最小值．
（3）設(shè)A（

y12

8

，y1），B(

y22

8

，y2)，（y₁≠y₂），則kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，kPA•kPB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0，由此知，直線AB過(guò)定點(diǎn)（1，-4）．

解答：解：（1）由題意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x²，
∴y²=8x為點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）由題設(shè)條件知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，
設(shè)MN的方程為y=k（x-2），與y²=8x聯(lián)立，得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，
由拋物線定義知：|MN|=x1+x2+4=

8(k2+1)

k2

，
同理，RQ的方程為y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，
∴SMRNQ=

1

2

|MN||RQ|=32×

(k2+1)2

k2

=32(k2+

1

k2

+2)≥32(2+2)=128，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1，k=±1時(shí)，取“=”號(hào)，故四邊形MRNQ面積的最小值為128．
（3）設(shè)A（

y12

8

，y1），B(

y22

8

，y2)，（y₁≠y₂），
則kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，
∴kPA•kPB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0…①
lAB：y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，
∴y=

8

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∴y₁y₂-（y₁+y₂）y+8x=0，
與①比較知，直線AB過(guò)定點(diǎn)（1，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)和均值不等式的靈活運(yùn)用，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．