【題目】如圖,長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點(diǎn)M在棱BB1上,兩條直線MA,MC與平面ABCD所成角均為θ,AC與BD交于點(diǎn)O.
(1)求證:AC⊥OM;
(2)當(dāng)M為BB1的中點(diǎn),且θ= 時(shí),求二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵M(jìn)B⊥面ABCD,直線MA,MC與平面ABCD所成角均為θ,∴∠MAB=∠MCB=θ.

故△MBA≌MBC,BA=BC.

∴四邊形ABCD為正方形,AC⊥DB,又AC⊥MB,DB∩MB=B

∴AC⊥面BDM,即AC⊥OM


(2)解:θ= 時(shí),則有AB=BC=MB,延長(zhǎng)D1M,DB交于點(diǎn)點(diǎn)H,

過點(diǎn)O作ON⊥D1H于點(diǎn)N,連接AN,則∠ANO為二面角A﹣D1M﹣B的平面角.

設(shè)AB=1,由△D1DH∽△ONH易得ON= ,AO= ,

tan∠ANO= ,∴∠ANO=30°

二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值為


【解析】(Ⅰ)由 MC與平面ABCD所成角均為θ,得∠MAB=∠MCB=θ.BA=BC.四邊形ABCD為正方形,即可得AC⊥面BDM,即AC⊥OM.(Ⅱ) θ= 時(shí),則有AB=BC=MB,延長(zhǎng)D1M,DB交于點(diǎn)點(diǎn)H,過點(diǎn)O作ON⊥D1H于點(diǎn)N,連接AN,則∠ANO為二面角A﹣D1M﹣B的平面角,利用平面幾何知識(shí)即可求解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

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7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

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