【題目】如圖,長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點(diǎn)M在棱BB1上,兩條直線MA,MC與平面ABCD所成角均為θ,AC與BD交于點(diǎn)O.
(1)求證:AC⊥OM;
(2)當(dāng)M為BB1的中點(diǎn),且θ= 時(shí),求二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵M(jìn)B⊥面ABCD,直線MA,MC與平面ABCD所成角均為θ,∴∠MAB=∠MCB=θ.
故△MBA≌MBC,BA=BC.
∴四邊形ABCD為正方形,AC⊥DB,又AC⊥MB,DB∩MB=B
∴AC⊥面BDM,即AC⊥OM
(2)解:θ= 時(shí),則有AB=BC=MB,延長(zhǎng)D1M,DB交于點(diǎn)點(diǎn)H,
過點(diǎn)O作ON⊥D1H于點(diǎn)N,連接AN,則∠ANO為二面角A﹣D1M﹣B的平面角.
設(shè)AB=1,由△D1DH∽△ONH易得ON= ,AO= ,
tan∠ANO= ,∴∠ANO=30°
二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)由 MC與平面ABCD所成角均為θ,得∠MAB=∠MCB=θ.BA=BC.四邊形ABCD為正方形,即可得AC⊥面BDM,即AC⊥OM.(Ⅱ) θ= 時(shí),則有AB=BC=MB,延長(zhǎng)D1M,DB交于點(diǎn)點(diǎn)H,過點(diǎn)O作ON⊥D1H于點(diǎn)N,連接AN,則∠ANO為二面角A﹣D1M﹣B的平面角,利用平面幾何知識(shí)即可求解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)滿足:f( +x)=﹣f( ﹣x),且f( +x)=f( ﹣x),則ω的一個(gè)可能取值是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求直方圖中x的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的4個(gè)圖像中,與所給3個(gè)事件最吻合的順序?yàn)?/span>
①我離開家后,心情愉快,緩慢行進(jìn),但最后發(fā)現(xiàn)快遲到時(shí),加速前進(jìn);
②我騎著自行車上學(xué),但中途車壞了,我修理好又以原來(lái)的速度前進(jìn);
③我快速的騎著自行車,最后發(fā)現(xiàn)時(shí)間充足,又減緩了速度.
① ② ③ ④
A. ③①② B. ③④② C. ②①③ D. ②④③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】總體由編號(hào)為01,02,…,19,20的20個(gè)個(gè)體組成,利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為_______
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓的半徑為2,點(diǎn)是圓的六等分點(diǎn)中的五個(gè)點(diǎn).
(1)從中隨機(jī)取三點(diǎn)構(gòu)成三角形,求這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形的概率;
(2)在圓上隨機(jī)取一點(diǎn),求的面積大于的概率
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)若在區(qū)間上恒成立,求的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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