Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，△PAB為等邊三角形．
（Ⅰ）求PC與平面ABCD所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角B-AC-P的大��；
（Ⅲ）求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析：（1）設O為AB中點，易證PO⊥平面ABCD，從而∠PCO為直線PC與平面ABCD所成的角，在三角形PCO中求出此角即可；
（2）過O做OE⊥AC，垂足為E，連接PE，易證∠PEO為二面角B-AC-P的平面角，在三角形POE中求出此角即可；
（3）點A到平面PCD的距離等于點O到平面PCD的距離，取CD中點M，連接OM、PM，過O做ON⊥PM，垂足為N，ON就是點A到平面PCD的距離，在△POM中求出ON．

解答：解：（Ⅰ）解：設O為AB中點，連接PO，CO，
∵PA=PB，
∴PO⊥AB．
又平面PAB⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴∠PCO為直線PC與平面ABCD所成的角．
由底面正方形邊長為2，△PAB為等邊三角形，
則PO=

3

，CO=

5

，
∴tanPCO=

PO

CO

=

15

5

．
∴直線PC與平面ABCD所成的角大小為arctan

15

5

．（5分）

（Ⅱ）解：過O做OE⊥AC，垂足為E，連接PE．
∵PO⊥平面ABCD，
∴PE⊥AC．
∴∠PEO為二面角B-AC-P的平面角．
可求得OE=

2

2

．
又PO=

3

，
∴tanPEO=

PO

OE

=

6

．
∴二面角B-AC-P的大小為arctan

6

．（10分）

（Ⅲ）解：∵AB∥平面PCD，
∴點A到平面PCD的距離等于點O到平面PCD的距離．
取CD中點M，連接OM，PM，
∵PO⊥CD，OM⊥CD，
∴CD⊥平面POM．
∴平面POM⊥平面PCD．
過O做ON⊥PM，垂足為N，
則ON⊥平面PCD．
在△POM中，PO=

3

，OM=2，
可得PM=

7

，
∴ON=

2 3

7

=

2 21

7

．
∴點A到平面PCD的距離為

2 21

7

．（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．